三周时间，我又把我的数学团队的课听了一遍，自主学习的流程与特色环节在老师们的一个个指令下坚定的实施，“怎么教”似乎已固化、已娴熟、已自发，但总觉得这些生硬的指令破碎了数学本质的联系，生成的鲜活，逻辑的震撼，演绎的精彩，没了生活情景，没了知识背景，没了来龙去脉，没了因果关系，只是规定、记住、模仿、训练，这还是数学吗？课本之外、教材之上，还需要教师填充什么，讲清哪些，学生从老师那收获多少，我想必须回归原本，解答好“教什么”这个最迫切也最简单的命题。如何破题？我建议，先把教材读透！

八年级课题是“一次函数的图象”，许多老师从复习函数的概念、一次函数的概念入手，也有再复习表示函数的解析法、列表法、图象法，先让学生阅读课本上函数图象的概念，随即模仿例1作一次函数y=2x+1图象，后“做一做”“议一议”，归纳其特征及画法。结构严谨，讲解规范，训练到位，学生能识图会作图可以佐证教学是成功的。我课后曾问部分学生两个问题，一是用最简单的话说说你所理解的函数是什么？二是你认为函数的图象是个什么东西？他们答得很好，有的几乎把课本概念背出来，我知道这是教师强化的功绩，也是必要的，不过我想知道学生“内化”的程度，理解了多少。当我自答“函数就是一个量，一个变量”，“函数的图象就是函数的长相、照片，实质上是点的集合”，他们并不认同。于是，我在反思，我们还需要教给学生什么？ 

一、用变化的眼光看“函数”。

现实生活中存在着大量的变化过程以及两个变量之间的对应关系，比如汽车匀速行驶过程中的路程与时间，圆的面积与半径，水库储水量与水深，某城市一天中气温与时间等，它们都是现实在变化的，是“动”的，正是它们丰富了抽象函数模型的现实背景，是函数概念诞生的基础。但我们数学课研究的初等函数，函数定义中的所谓“变化过程”，并不是实际在变，而是用变化的眼光来看、来刻画，例如“2x+1”，静止的看，它就是一个代数式，含有字母x的代数式。换成变化的观点，因字母x可以取不同的值，那自然可以称是一个变量，并且代数式2x+1，对于x每一个值都有唯一确定的值与之对应，那2x+1理所当然就是x的函数，再类推下去，每一个所含字母的代数式都是这字母的函数。原本应该说“2x+1是x的函数”，后为了写起来简便，把函数2x+1用字母y表示，记作y=2x+1。这样解读是讲理的，再研究y=kx+b，y=ax²+bx+c，y=k/x，直至后续学习，起点上、内在联系已疏通，会形成正确的导向和理想的迁移。再如学习三角函数，用变化的眼光审视一个直角三角形，锐角可以取不同的值是个变量，边长也可去不同的值也是变量，但对于锐角一个确定的值（比如30°），其对边没有唯一确定的值和它对应，邻边、斜边也没有，因此任何一边都不是角的函数，转而考察两边之比时，有新的发现，“对边与斜边之比”这个量有唯一确定的值（1/2），那毫无争议，“对边与斜边之比”理应是锐角的一种函数，我们称之为“正弦”，以此类推，诞生了四种三角函数。

二、用生成的过程识“图象”。

函数的图象是函数概念中重要的组成部分，是研究、描述函数的工具．函数所反映的数量关系及变化过程抽象、隐蔽，利用其图象可以浅显地、直观的描述出这种对应关系，完整地、形象地刻画出其变化过程．因此，函数图象的教学是学懂函数内容的基础，对后续学习一次函数、二次函数、反比例函数等其他初等函数的图象与性质有着重要的迁移作用．因此，一次函数图象的教学目标，还不能停留在“知道用图象表示函数”，“能画出一次函数的图象”的眼前利益上．如何通过函数图象的教学，帮助学生正确理解函数的意义，渗透数形结合的思想，培养学生用图象来描述函数的意识，为进一步学习简单的初等函数奠定基础，应是本节课学习更上层的目标．

事实上，学生认识与接纳函数的图象是一个非常艰辛的思维过程，其一，从认知基础看，“S=60t”中S是t的函数、“y=50-0.1x”中y是x的函数等远不如有理数、代数式、方程等概念具体易识别，得到学生的认可本身就有困难，限于篇幅教材未能列举更多的学生熟悉的实例来介绍函数，表示函数的“图象法”也未提及．在“一次函数的图象”一节，教材给出函数y=2x+1就列表、描点、连线，“变戏法”般画出一条直线“硬”说是一次函数的图象，学生从“感情”上无法接受．其二，从知识联系看，由数轴上的点与实数的对应到平面上的点与有序实数对的对应，再到解析式与函数图象的对应，这两次大的跨越学生在思维上很难实现，思维跳跃与认知障碍也使图象的学习成为难点．破解的对策，可以选取现实生活中学生熟知或已接触的某些图象为“固着点”，执果索因，打破“神秘”，分解图象，实现认知顺应．

我引荐给大家本节的一段课堂实录，供参考。

第一环节：创设情境，介绍图象法．

师：我们先来观察用自动测温仪记录的，反映我市的春季某一天中，气温随时间变化而变化的曲线（如图１）．其中有两个变量：时间t与气温T，气温随时间变化而变化．这里，气温是不是时间的函数？ 

生：对于这天当中时间t每一个确定的值，气温T都有唯一确定的值与它对应，因此，气温是时间的函数．

师：这个函数是无法用一个解析式来表示的，我们就用这条曲线来描述这个函数，这种表示函数的方法叫做图象法，这条曲线叫做这个函数的图象．

点评：学生对气温变化曲线是能读得懂的，而它竟是“神秘”的图象！这一事实足以形成学生迫切需要下的学习愿望．从学生熟悉的情境出发，通过图象直观地表示变量之间的对应关系，再者，把气温变化曲线作为学生认知结构中与函数的图象最接近的“固着点”，为学图象做认知准备．

第二环节：执果索因，认识获得图象的过程．

师：这条曲线是怎么得到的呢？气象工作者告诉我们：在0时，测得气温是2℃，把t=0，T= 2分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的一个点（0，2）；在4时，测得气温是-3℃，又在坐标平面内描出另一个点（4，-3）；…；最后描出点（24，3）（如图2）． 

实际用仪器测量时，时间间隔很短很短（比如每隔1秒钟就测一次，实际间隔更短），这样，在坐标平面内描出的点就很多很多．这些点集合起来，形成图1中的曲线，也就获得了函数的图象．

点评：执果索因，符合学生的心理的需要和认知特点．分解图象，重现获得过程，为学生认识函数图象的概念进而会画函数的图象有关键性的突破作用．

第三环节：类比概括，定义函数的图象．

师：我们知道，y=2x+1是x的一次函数，请同学们仿照气温变化曲线的获得过程，自学课本例1，尝试画其图象．

生：列出x、y的几对对应值，在坐标平面内描出相应的点，用一条平滑的曲线（有的就用直线）把所描的点连接起来．

师：我们仔细欣赏这两个函数的“模样”，总结获得它们的过程，可以说，函数的图象是点的集合，是符合什么条件的点的集合呢？

生：每一个点的坐标必须是函数的一对对应值；函数的每一对对应值都对应着图象上的一个点．

师：那么，什么叫函数的图象呢？

学生发言交流，再查阅对照课本给出函数图象的定义。

点评：启发引导，创设良好的学习氛围，学生的学习兴趣和探究热情的以激发．观察自己画出的图象，有什么理由不认可呢？总结画图象的过程，图象的定义与画法跃然纸上！要提醒学生，需拿“放大镜”看图象，当你看到的不再是“线”，而是密密麻麻的一些“点”，每一个“点”都挂着两个数，左边的数是这个点的横坐标，右边的数是这个点的纵坐标，如果这样，图象就学会了。

第四环节：巩固强化，领悟由图象来学习函数的优越性．

师：请同学们画出函数y=-2x+5的图象．

生：仿照例题列表、描点、连线作出图象，也有的选取两点作直线．

师：用“描点法”或两点连线都能得到函数y=-2x+5的图象是一条直线，不妨简称为直线y=-2x+5．请读出直线y=-2x+5与x轴、y轴的交点坐标．

生：与x轴的交点坐标是（5/２，0），与y轴的交点坐标是（0，5）．

师：不画出函数y=-2x+5的图象，由解析式能否计算出它与x轴、y轴的交点坐标？

生：能．令y=0，得x= 5/２，则图象与x轴交点坐标为（5/２，0）；令x=0，得y=5，则图象与y轴交点坐标为（0，5）．

师：由此可知，画函数y=-2x+5的图象可以取两点连直线，如何选点？说给你的同伴听．

生：认真讨论，各抒己见，方法达成共识．

师：观察气温随时间变化的图象，并回答：

1、这一天中何时气温最低？最低气温是多少？最高气温出现在几时？

2、从0时到4时，气温是逐渐升高还是降低？4时到14时呢？14时到24时呢？

指导学生在各区间内图象上取几个点，找出对应的气温值，观察分析，得出正确的结论．由此，学生会领悟到，函数值随自变量变化规律用图象可以直观的反映出来，可谓一目了然．

点评：从图象中读取信息并有条理的表达是学习函数的基本要求，正确辨析图象、还原图象所描述的实际背景，是准确获得信息的重要基础，更是用图象研究函数的目的所在。

三、用本质联系解“问题”。

九年级课题是《二次函数与二次方程》，老师们在讲，“y=0时，二次函数y=ax²+bx+c变为二次方程ax²+bx+c=0，因此二次方程是二次函数的特例。”但我们知道，函数是一变量，方程是一等式，从概念本质上二者是完全不同的。只不过已知二次函数值来求对应的自变量的值，要用到解一元二次方程，这是它们的联系。课题本身引导我们研究二次函数与一元二次方程，是探求数学知识纵向的联系和解题方法横向的迁移，并非“长大后就成了我”。当然，这并没影响老师们把二次方程根的判别式、根的情况、抛物线与x轴交点递推与互推关系讲的清清楚楚。

我力主“用本质联系教数学”，还是多一些因果，彰显思维；少一些规定，减少记忆。比如抛物线的平移，让学生记住“顶点横坐标右加左减、纵坐标上加下减”就不如“跟紧顶点”更实质，原顶点坐标——平移后顶点坐标——新解析式。直线的平移也如此，左右移盯住与x轴交点，上下移盯住与y轴交点，交点坐标有了，k不变，解析式也就获得了。这种方法不仅解决已知原式平移后求新式，同样可以解决已知平移后解析式求原式，比起强调记忆要优越。

上学期七年级讲《小车下滑的时间》，有老师处理的过于简化、直白，教材的设计意图及隐含的知识联系没有挖掘出来。细细研读，用本质的联系的观点分析，有以下几点：

1、函数是一个重要的数学模型，变量之间的关系是认识函数的起步与台阶，本节“小车下滑的时间”的实验只是选取了丰富的现实情境中的一个变化过程。“经历问题情——-建立数学模——-进行解释、应用与拓展”是数学教材编写的一贯风格。

2、章头统领全章，把学生引入一个崭新的世界，图文并茂，生动形象，是激发学习兴趣的素材，可成为教师的导语。

3、引例小车下滑的实验操作简单易行，能获得直观体验，经历观察、记录、收集、整理数据、推断的思维过程，明晰问题情境的变化过程和研究的量：不是小车下滑的变化，也不是时间在变化，而是我们选择不同下滑高度，小车走完相同长度（常量）的木板所用时间就不同，是高度与时间的对应关系。实验时可指导学生根据研究的两个变量自己列表，并实际填充一组数据，并用自己的话表述这组数据的意义，这对读懂表格中每一组数据是至关重要的。

4、本节教学难点集中，这是许多老师认识不到的，正是觉得简单，看看书就能教，影响了学习目标的达成。

其一，研究变化的量或用变化的观点来研究数学量，这是一个全新的领域、全新的视角，改变学生认知结构实现顺应还需慢慢强化。

其二，问题结论的不确定、不唯一，造成与学生的经验冲突，学生思维习惯不适应推测、估计，希望有具体明确的答案，遇问题犹豫不自信，思维受阻，造成学习上的困难。这就需要教师点拨引导，尽可能给学生提供最佳答案或较小的范围，不能随意肯定，使学生无所适从。

1°引例（4），h=110时，t的值在1.35-1.29合理，其他应明确否定。

2°议一议（2），2009年，我国人口14.00亿，太多则不符合数据趋势，也不符合国情。

3°随堂2（3），氮肥使用量336为首选，这是数学题目的选择，259也可以，因施肥少减少成本，其产量只稍有降低，这是实际的需要。但从目前市场价格，选336更实惠。

4°习题1的结论“世界人口每增10亿，用的时间越来越短”。

其三，从表格获取变量之间的信息，尝试预测趋势是本节学习重点，老师们把握较准。学习时通过指导、提出思考题、比较、点拨等不同方式突出这一重点，并反复强调读出表头，明确自变量和因变量及一一对应关系，效果很好。但同时又是学习的难点，这不仅是思维方式的跳跃，问题带来的自变量与因变量的更换学生不易觉察，教师未能旗帜鲜明的点明，更谈不上重列一个新表格来研究新变量，带来了学习的困难。

1°引例（4）研究的变量不再是“高度”与“下滑时间”，而变为“每升高10米”与“所需时间的变化值”这两个变化之间的关系。

2°议一议（2），变量不再是“年份”与“人口总数”，而是“每一个10年”与“人口增长的数量”之间的关系。

5、变量、自变量、因变量的概念是用引例表1中的量给出的，还有一重要的量——常量（本例中木版的长），需明确其概念讲给学生：在某一过程中始终保持不变的量叫常量。

林林总总，零零碎碎，只是想急切的表达，老师们，要先把教材读透