中考复习切线的判定与性质

知识考点：

1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。

2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。

精典例题：

【例1】如图，AC为⊙O的直径，B是⊙O外一点，AB交⊙O于E点，过E点作⊙O的切线，交BC于D点，DE＝DC，作EF⊥AC于F点，交AD于M点。

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）EM＝FM。

分析：（1）由于AC为直径，可考虑连结EC，构造直角三角形来解题，要证BC是⊙O的切线，证到∠1＋∠3＝90⁰即可；（2）可证到EF∥BC，考虑用比例线段证线段相等。

证明：（1）连结EC，∵DE＝CD，∴∠1＝∠2

          ∵DE切⊙O于E，∴∠2＝∠BAC

          ∵AC为直径，∴∠BAC＋∠3＝90⁰

          ∴∠1＋∠3＝90⁰，故BC是⊙O的切线。

（2）∵∠1＋∠3＝90⁰，∴BC⊥AC

     又∵EF⊥AC，∴EF∥BC

     ∴

     ∵BD＝CD，∴EM＝FM

    【例2】如图，△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点，以O为圆心的圆与AB相切于点D。求证：AC是⊙O的切线。

分析：由于⊙O与AC有无公共点未知，因此我们从圆心O向AC作垂线段OE，证OE就是⊙O的半径即可。

证明：连结OD、OA，作OE⊥AC于E

∵AB＝AC，OB＝OC，∴AO是∠BAC的平分线

∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB

又∵OE⊥AC，∴OE＝OD

  ∴AC是⊙O的切线。

【例3】如图，已知AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，OA＝ 。

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）求 的值；

（3）若AD＋OC＝ ，求CD的长。

分析：（1）要证CD是⊙O的切线，由于D在⊙O上，所以只须连结OD，证OD⊥DC即可；（2）求 的值，一般是利用相似把 转化为其它线段长的乘积，若其它两条线段长的乘积能求出来，则可完成；（3）由 ，AD＋OC＝ 可求出 AD、OC，根据勾股定理即可求出CD。

证明：（1）连结OD，证∠ODC＝90⁰即可；

（2）连结BD

     ∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90⁰

          ∵∠OBC＝90⁰，∴∠ADB＝∠OBC

          又∠A＝∠3，∴△ADB∽△OBC

          ∴

∴

（3）由（2）知 ，又知AD＋OC＝

    ∴AD、OC是关于 的方程 的两根

    解此方程得 ，

    ∵OC＞ ，∴OC＝

    ∴CD＝

探索与创新：

【问题一】如图，以正方形ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，CG切半圆于E，交AD于F，交BA的延长线于G，GA＝8。

（1）求∠G的余弦值；

（2）求AE的长。

略解：（1）设正方形ABCD的边长为 ，FA＝FE＝6，在Rt△FCD中， ， ，解得 。

∴

∵AB∥CD，∴∠G＝∠FCD，∴

（2）连结BE，∵CG切半圆于E，∴∠AEG＝∠GBE

∵∠G为公共角，∴△AEG∽△EBG

∴

在Rt△AEB中，可求得

【问题二】如图，已知△ABC中，AC＝BC，∠CAB＝ （定值），⊙O的圆心O在AB上，并分别与AC、BC相切于点P、Q。

（1）求∠POQ；

（2）设D是CA延长线上的一个动点，DE与⊙O相切于点M，点E在CB的延长线上，试判断∠DOE的大小是否保持不变，并说明理由。

分析：（1）连结OC，利用直角三角形的性质易求∠POQ；（2）试将∠DOE用含 的式子表示出来，由于 为定值，则∠DOE为定值。

解：（1）连结OC

        ∵BC切⊙O于P、Q，∴∠1＝∠2，OP⊥CA，OQ⊥CB

        ∵CA＝CB，∴CO⊥AB

        ∴∠COP＝∠CAB，∠COQ＝∠CBA

        ∵∠CAB＝ ，∴∠POQ＝∠COP＋∠COQ＝

   （2）由CD、DE、CE都与⊙O相切得：

        ∠ODE＝ ∠CDE，∠OED＝ ∠CED

        ∴∠DOE＝180⁰－（∠ODE＋∠OED）

                ＝180⁰－ （∠CDE＋∠CED）

                ＝180⁰－ （180⁰－∠ACB）

                ＝180⁰－ [180⁰－（180⁰－ ）]

                ＝

        ∴∠DOE为定值。

跟踪训练：

一、选择题：

1、“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（    ）

A、经过半径外端点的直线是圆的切线；

B、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线；

C、垂直于半径的直线是圆的切线；

D、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

2、在Rt△ABC中，∠A＝90⁰，点O在BC上，以O为圆心的⊙O分别与AB、AC相切于E、F，若AB＝ ，AC＝ ，则⊙O的半径为（    ）

    A、             B、             C、           D、

3、正方形ABCD中，AE切以BC为直径的半圆于E，交CD于F，则CF∶FD＝（    ）

    A、1∶2            B、1∶3              C、1∶4            D、2∶5

4、如图，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，连结AB，在AB、PB、PA上分别取一点D、E、F，使AD＝BE，BD＝AF，连结DE、DF、EF，则∠EDF＝（    ）

    A、90⁰－∠P      B、90⁰－ ∠P       C、180⁰－∠P       D、45⁰－ ∠P

二、填空题：

5、已知PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，∠APB＝78⁰，点C是⊙O上异于A、B的任一点，则∠ACB＝          。

6、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，BC与以AD为直径的⊙O相切于点E，AB＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积为          。

7、如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，点D、E、F为切点，若AD＝6，BD＝4，则△ABC的面积为          。

8、如图，已知AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，过⊙O上A点的直线AD∥OC，若OA＝2且AD＋OC＝6，则CD＝          。

9、如图，已知⊙O的直径为AB，BD＝OB，∠CAB＝30⁰，请根据已知条件和所给图形写出4个正确的结论（除OA＝OB＝BD外）：①          ；②          ；③          ；④          。

10、若圆外切等腰梯形ABCD的面积为20，AD与BC之和为10，则圆的半径为      。

三、计算或证明题：

11、如图，AB是半⊙O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合），点Q在半⊙O上运动，且总保持PQ＝PO，过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C。

（1）当∠QPA＝60⁰时，请你对△QCP的形状做出猜想，并给予证明；

（2）当QP⊥AB时，△QCP的形状是            三角形；

（3）则（1）（2）得出的结论，请进一步猜想，当点P在线段AM上运动到任何位置时，△QCP一定是            三角形。

12、如图，割线ABC与⊙O相交于B、C两点，D为⊙O上一点，E为 的中点，OE交BC于F，DE交AC于G，∠ADG＝∠AGD。

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）如果AB＝2，AD＝4，EG＝2，求⊙O的半径。

13、如图，在△ABC中，∠ABC＝90⁰，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD＝2，AE＝1，求 。

14、如图，AB是半圆（圆心为O）的直径，OD是半径，BM切半圆于B，OC与弦AD平行且交BM于C。

（1）求证：CD是半圆的切线；

（2）若AB长为4，点D在半圆上运动，设AD长为 ，点A到直线CD的距离为 ，试求出 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围。

15、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O的半径AO上运动，  PC⊥AB交⊙O于E，PT切⊙O于T，PC＝2.5。

（1）当CE正好是⊙O的半径时，PT＝2，求⊙O的半径；

（2）设 ， ，求出 与 之间的函数关系式；

（3）△PTC能不能变为以PC为斜边的等腰直角三角形？若能，请求出△PTC的面积；若不能，请说明理由。