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中考复习解直角三角形
一、锐角三角函数
（一）、基础知识
1．锐角三角函数定义。
在直角三角形ABC中，∠C=900，设BC=a，CA=b，AB=c，锐角A的四个三角函数是：
sin A = , cos A = , tan A = ，cotA=
这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件：
（1）锐角∠A必须在直角三角形中，且∠C=900；
（2）在直角三角形 ABC 中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。 否则，不存在上述关系
2．同角三角函数间的关系：
（1）平方关系： sin2A + cos2A = 1；
(2) 商的关系: tanA = ； cot A =
（3）倒数关系： tan A =
3．互余两角三角函数间的关系：
sinα=cos(900-α) cosα=sin(900-α)
tanα=cot(900-α) cotα=tan(900-α)
通常我们把正弦函数和余弦函数叫做互为余函数，即正弦函数是余弦函数的余函数，余弦函数也是正弦函数的余函数，同样，也把正切函数和余切函数叫做互为余函数。
上面的四个公式，就可以概括成一句话：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数。
4．特殊角的三角函数值：
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00 |
300 |
450 |
600 |
900 |
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sinα |
0 |
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1 |
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cosα |
1 |
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0 |
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tanα |
0 |
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1 |
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不存在 |
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cotα |
不存在 |
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1 |
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0 |
5．锐角三角函数的增减性
正弦函数和正切函数是增函数；
余弦函数和余切函数是减函数。
6．锐角三角函数值的范围：
0<sinα<1，0<cosα<1,
tanα>0， cotα>0
二、解直角三角形
（一）、基础知识
1、直角三角形各元素之间的关系
（1）、边之间的关系：
（2）、角之间的关系：∠A+∠B=900
（3）、边、角之间的关系：sin A = , cos A = , tan A = ，cotA=
2、几个常用术语
（1）、仰角、俯角 （2）、坡度、坡角
（3）、方位角 （4）、水平距离、垂直距离
3、常见基本类型
（1）、测量问题
（2）、坡度问题
（3）、航行问题
（4）、面积问题
（二）、典型例题
例1．如图，在△ABP中，N为AB中点，∠APN=900，∠NPB=300，求∠A的正切函数值.
解法一：
过 N 作 MN⊥PN，交 PB 于 M P
在 Rt△NPM 中 ∵∠NPM=300 M
∴ = ∴PN= MN A N B
∵∠APN=900，N为AB中点 ∴MN ∥ AP ∴AP=2MN ∴tanA= = =
解法二：
过 B 点作 BC⊥AP，交 AP 延长线于 C
∵∠APN=900∴∠NPC=900 P
∵∠NPB=300
∴∠BPC=600 ∴BC= PC A N B
∵N 为 AB 中点 PN//BC ∴P 为 AC 中点∴AC=2PC 在 Rt△ABC 中
tan A= = =
注：求一个锐角的三角函数值，一般情况下都要将这个锐角置于一个直角三角形中，解法一是将∠A 置于 Rt△APN 中，解法二是置于 Rt△ABC 中，已知条件中如有特殊角，也要将其置于直角三角形中，解法一是将∠NPB 置于 Rt△NPM 中，解法二是将∠NPB 的余角∠BPC 置于 Rt△BPC 中，这样才可以将锐角的三角函数与直角三角形的边的比联系起来. 本题还可以有其它解法.
例2：如图，四边形 ABCD 和四边形 MNBE 均为正方形，MC 交 AB 于 F，已知
sin∠MCN= ,求cot∠AME的值。
解：∵ME//NC
∴∠EMF=∠MCN ∴sin ∠EMF = sin ∠MCN =
设 EF=5k, MF=13k 在 Rt△EMF 中 A D
由勾股定理：ME=12k M
∴MN=BE=NB=ME=12k
∵FB // MN ∴ = = ∴ =
∴BC= ·BN= ·12k= k
∴AE=AB-BE =BC-BE= k-12k= k ∴cot∠AME = ＝ ＝ 。
例 4：如图，在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于 D，BE⊥AC 于 E，CF⊥AB 于 F，且AD=BE+CF，求 tan∠ABC 的值.
解：∵AB=AC BE⊥AC 于 E，CF⊥AB 于 F
∴BE=CF ∵AD=BE+CF ∴AD=2·CF
在 Rt△ABD 和 Rt△CBF 中
∵∠ABD=∠CBF ∴Rt△ABD∽Rt△CBF
∴ = 即 = ∴ AB = 4·BD
在 Rt△ABD 中 设 BD=k (k>0) 则 AB=4k
∴ AD = = k
∴tan∠ABC= = = .
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